最適化問題 定式化 例

解析講座 はじめての最適化（第1回）. ⇒問題を定式化しても解かなければ何も得られない 問題の解きやすさ（難易度）は定式化に大きく依存 ⇒性能低くても難易度が低い簡単な定式化の方が好まれる場合も 凸最適化問題・非凸最適化問題 最適化の意味で解ける問題と解けない問題が存在 6 非線形計画問題の例 自然科学, 実社会における決定問題を最適化問題として定式化する場合, 制約条件や目的関数は線形関数で表 されるとは限らない. 序：最適化問題とは？ 最適化問題とは、関数を最小化、または最大化する問題である。 変数を選ぶ範囲になんらかの制約があるものを「制約付き」、変 数の範囲に制約がないものを「制約なし」とよぶ。 まずは、「制約なし最適化問題」から導入する 4 まずは、問題を数式に書き下してみると、解決すべき問題の見通しが良くなります。さらに、よく用いられる最適化のソルバーは、この数式を直感的に実装出来るように工夫されています。 問題の実行可能解を過不足なく表現するよう制約 式を記述する． 3. への応用 確率的アプローチ Calafiore & Campi [‘05,‘06] 中央大学経営システム工学科『最適化手法』no.1（担当：後藤） 3 1.4 非線形計画問題の例（[3]） 面積が1 以上の長方形で, 外周の長さが最も短いものを求める. BrainPadでは、データ分析に基づいて様々なビジネス課題に取り組んでいますが、業務貢献に寄与する最終段階で頻繁に検討されるのが数理最適化です。そこでは、様々な要素（例えば商品）に関する予測などを行った結果に基づき、どのような要素（商品）の組合せや割合が利益を最大化するのかを求めたりします。今回はそのような問題の基礎例として、典型的な離散数理最適化問題である、”巡回セールスマン問題”を取り上げ、その定式化と解法の例を紹介できればと思います。

第3章 最適化問題 3.1 最適化問題とは？ 最適化問題とは関数を最小化，又は最大化する問題である．まず，以下の具体例 を紹介しよう． 例9. 目的関数を記述する． となるであろう[16]．例題1 と例題2は，問題文から では、実際に定式化と実装を行ってみましょう。 問題の定式化. 縦横の辺の長さの和が4 となる長方形の中で，面積が最大になるのはどのよ うな長方形か？ •IP の適用例 非常に多彩な最適化問題が 定式化できる（しやすい） 他分野への応用例 ロジスティクス，配送計画，意思決定， スケジューリング，都市工学，… グラフ理論，画像処理，信号処理，機械学習，… 「 problem integer programming」で検索 11 解析講座 はじめての最適化（第1回）. この講義について •目的：数理最適化問題の様々なモデル，数学的構造， および最適解を求めるアルゴリズムについて学ぶ •参考書 •田村明久，村松正和：「最適化法｣，共立出版，2002年 •福島雅夫：「新版数理計画入門」，朝倉書店，2011年 •授業の情報はWebページからも入手可能
この連載では、いわゆる『最適化』についてこれから勉強される方を対象に、最適化の基礎知識としてアルゴリズムおよび周辺技術について代表例を挙げて、その概要 … 本節以降しばらく, そのような非線形関数によって表される最適化問題について理解を 深めていく.1

定式化について ilpに限らず，数理最適化(数理計画法)における定 式化手順の一例は 1. 2. PuLP以外の他のライブラリも多かれ少なかれ同様の手続きで実装が可能です。簡単ですね。さて、ここまで来ると後は実装なのですが、PuLPの場合は大変簡単で、以下のような手続きで最適化モデルと変数を定義し、評価指標と条件式を随時モデルに登録していくだけです。今回の課題ではどうにか解くことができましたが、一方、実際の業務課題への適用を考えると、業務適用に耐えられるようなリーズナブルな時間で問題が解けるかは大変重要で、配慮が必要な点です。今回はそのような問題の基礎例として、典型的な離散数理最適化問題である、”巡回セールスマン問題”を取り上げ、その定式化と解法の例を紹介できればと思います。そこで、先程の実装を、拠点数を変化させながら実際に解いてみた際の実行時間をプロットしたのが以下の図の（緑）です。実際には昇順の番号が初めから振られるわけではなく、変数である$x_{i,j}$や$u_{i}$を上記、条件のなかで探索していく内に、自動的に訪問順序による番号が各拠点に付与されていきます。式 $(4)$ を見ていただくと、"BigM"と記載されていますが、これは”任意の大きい数”という意味です。もし拠点 $i$ から $j$ に移動した場合は $x_{i,j}=1$ となりますので、この式は $u_{i} + 1 \le u_{j}$ となり、 $u_{j}$ には $u_{i}+1$ より大きな値が入らなくてはなりません。一方、移動しない場合は $x_{i,j}=0$ ですので、この式は有効的には $- \text{BigM}\le u_{j}$ となり、 $u_{j}$ は $u_{i}$ に依らず任意の値を取って良い（ $u_{i}$ より小さくても良い）、ということになります。即ち、BigMの導入は $x_{ij}$ よるif分岐を可能にしていることが分かります。定式化の実装については、（好き好きありましょうが）以下の通り大変直感的に行えます。また、実際の業務適用に際しては、業務課題に応じた時間内で如何に解くか以外にも、人手による微調整の余地をどの程度残しどのように最適化問題に再度反映させるか、など配慮する必要があり、分析官の腕の見せ所となっています。BrainPadでは、データ分析に基づいて様々なビジネス課題に取り組んでいますが、業務貢献に寄与する最終段階で頻繁に検討されるのが数理最適化です。そこでは、様々な要素（例えば商品）に関する予測などを行った結果に基づき、どのような要素（商品）の組合せや割合が利益を最大化するのかを求めたりします。先程の巡回セールスマン問題を定式化してみると、以下のようになります。ソルバーには有償、無償、様々なものがありますが、今回は無償ソルバーCBCのpythonラッパーであるPuLPを用いて最適化問題を定式化、実行してみます。では、実際に定式化と実装を行ってみましょう。最適化の技術は、深層学習や強化学習の発展とともに今後もより一層発展していくものと思われますので、引き続き注意深く見守っていきたいと思っています。縦軸が対数になっていることにご注意ください。ローカルの貧弱なPCで実行したものとはいえ、$30$拠点近くになると、残念ながら一般的な業務適用には耐えられない実行時間となることが分かります。まずは、問題を数式に書き下してみると、解決すべき問題の見通しが良くなります。さらに、よく用いられる最適化のソルバーは、この数式を直感的に実装出来るように工夫されています。
ここで, 底辺の長さをx, 高さをy とすれば, この問題は以下のような最適化問題として定式化できる: 組合せ最適化を使うためのノウハウを説明します。組合せ最適化を使うコツは、全体像を理解することです。どんな要素があるのか、それらがどのような関係にあるのかを知ることにより、解きたい問題についてアプローチできるようになります。Python を使うことにより、簡単に、様々な最適化ができます。実際のコードを見ながら、あとで確認しましょう。最初に、身近な最適化の例から見ていきます。 ロバスト最適化問題の 基本的な定式化 Ben-Tal & Nemirovski [‘98,‘99] 解きやすいロバスト 最適化問題の特徴づけ Goldfarb & Iyengar [‘03] 多期間モデルへの拡張 Ben-Tal, et.al. [‘04] 金融工学, 機械学習の判別分析 etc. 選択された荷物の価値の総和(105)と選択した荷物の順番([0, 1, 3, 4, 5])が得られます。銘柄を購入する割合($x_i$)を決めます。投資に対する利益の下限(t/円)を条件として、リスク(分散($v_i$))を最小化します。ただし、各銘柄間は独立とします。従って、最適化の結果は、そのままでは現実には使えないことも多くなります。その場合、どういう問題が生じるのかを確認するために、検証をすることが重要になります。問題をいち早く見つけるために結果の見せ方も重要です。ナップサックに、いくつかの荷物を詰込みます。詰込む荷物の容量(size) の和がナップサックの容量(capacity) を超えないように、荷物の価値(weight) の和を最大にします。先日、あなたが実家に帰ると、お土産に野菜を持って帰るよう言われました。東京の野菜は高いので、「儲かった」と喜びましたが、量が多すぎます。せいぜい5kg しか持って帰れないとします。(宅配便は使えないことにしてください) また、野菜は切ったりすると傷むので、そのまま持って帰ることにします。汎用問題か典型問題かのどちらとしてとらえるかにより、ソルバーが変わりますが、ユーザーが判断して選択する必要があります。将来は、自動で判別できるようになるかもしれません。すなわち、汎用問題としてソルバーに与えると、解析していずれかの典型問題であることがわかれば、自動的により効率的な解法を用いるようになるかもしれません。Anaconda には、Python 本体と科学技術計算用の多くのパッケージが含まれています。Anaconda 以外に必要なソフトは、数理最適化のモデラーであるPuLP と典型問題用ライブラリになります。生物では、リンネによる二命名法(例えば人類はホモ・サピエンス) が一般的ですが、最適化でも、汎用問題・典型問題のとらえ方はこれに似ているかもしれません。汎用問題について補足します。生物における脊椎動物と無脊椎動物は、別々のグループですが、汎用問題の分類では、基本的に包含関係になっています。すなわち、全ての問題は非線形最適化問題になっていて、その中に混合整数最適化問題があり、さらにその中に線形最適化問題があります。つまり、線形最適化問題は、混合整数最適化問題でもあり、非線形最適化問題でもあります。また、混合整数最適化問題は、非線形最適化問題でもあります。このことは、ソルバーを適用する際にもいえます。すなわち、非線形最適化ソルバーは、非線形最適化問題、混合整数最適化問題、線形最適化問題を全て扱えます。混合整数最適化ソルバーは、一般の非線形最適化問題は扱えず、混合整数最適化問題、線形最適化問題を扱えます。線形最適化ソルバーは、線形最適化問題のみ扱えます。習慣的に、混合整数最適化ソルバーと線形最適化ソルバーは、1 つのソルバーになっていることがよくあります。全ての最適化問題は、非線形最適化問題です。なぜ、わざわざ非線形最適化というのでしょうか？それは、線形最適化問題を非線形最適化として扱うのは非効率的だからです。非線形最適化という言葉には、非線形な目的関数か非線形な制約条件があることを暗黙に示唆しています。実務で最適化を使う上で注意すべきポイントがいくつかあります。現在の最適化技術では、現実の課題を完全にモデル化することはできません。重要度の低い部分を切り捨てて、モデルをシンプルにしないと解くことができません。ポートフォリオ最適化問題は、汎用問題の非線形最適化問題になります。非線形最適化ソルバーは、制約を考慮できるものとできないものがありますが、実務者にとっては、制約を考慮できるソルバーだけ気にしていれば十分と思われるので、ここでは制約を考慮できることを前提にしています。グラフにおいて、始点から終点までの経路の中で最も短い経路を探します。あなたの家の最寄り駅から、実家の最寄り駅までの最短路(あるいは最安路) を探したい。非線形最適化は、さらに難しい問題です。しかし、小規模であれば、現状でも解けるようになってきました。また、非線形最適化の中でも非線形凸最適化は、大規模なものでも扱えますが、ここでは省略します。先ほどの例の他に、どんな例があるでしょうか？あなたは実家に帰るときに、webで乗り換え駅を探索したかもしれません。しかし、それまでは自分で考えて、手を動かす必要があるでしょう。また、そうすることによって、徐々に、より複雑な問題への対処法を身につけることができると思います。汎用問題で最も解きやすいのは、線形最適化問題です。最小費用流問題や最短路問題も線形最適化問題です。変数が連続変数で、目的関数と制約条件が線形(1 次式) で表される問題です。これは、かなり大きな問題でも解けるようになってきました。ソルバーは、より小さい領域に対する方が性能がよくなります。線形最適化問題は、線形最適化ソルバーを利用する方が、早く最適解が得られます。線形最適化問題に対し、非線形最適化ソルバーを用いると、「初期解を指定する必要がある」「計算時間が膨大にかかる」などのデメリットがあります。 変数を定義する． 2.

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